第52章 数学城（4）[2/2页]

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    面的数（a+1），例如，1=2，2‘=3等等）；

    Ⅲ如果b、c都是自然数a的后继数，那么b = c；

    Ⅳ 1不是任何自然数的后继数；

    Ⅴ任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n'也真，那么，命题对所有自然数都真。(这条公理也叫归纳公设，保证了数学归纳法的正确性)

    注：若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0。

    更正式的定义如下：

    一个戴德金皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X， x，f)：

    Ⅰ X是一集合，x 为X中一元素，f是 X 到自身的映射；

    Ⅱ x 不在f的值域内；

    Ⅲ f 为一单射；

    Ⅳ若A 为X的子集并满足: x属于 A，且若a 属于A，则 f(a)亦属于A，则A =X.

    该公理与由皮阿罗公理引出的关于自然数集合的基本假设:

    1° P(自然数集)不是空集；2° P到P内存在a→a直接后继元素的一一映射；

    3°后继元素映射像的集合是P的真子集；

    4°若P任意子集既含有非后继元素的元素，又有含有子集中每个元素的后继元素，则此子集与P重合.

    这四个假设能用来论证许多平时常见又不知其来源的定理!

    例如:其中第四个假设即为应用极其广泛的归纳法第一原理(数学归纳法)的理论依据。

    （摘自《百度百科》）

    (本章完)

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